Vecteur directeur d'une droite

Le plan est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O}; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)\).

Propriété

Soit \(\text A\) un point du plan et \(\overrightarrow{u}\) un vecteur non nul. L'ensemble des points \(\text M\) du plan tels que les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AM}}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont colinéaires est une droite passant par \(\text A\).

Démonstration partielle

Démontrons que la droite obtenue passe par le point \(\text A\).
On considère le vecteur \(\overrightarrow{\text{AA}}\) . C'est le vecteur nul.
Or, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. En particulier, il est colinéaire au vecteur \(\overrightarrow{u}\).
Donc le point \(\text A\) appartient à l'ensemble considéré, qui est une droite.

Définition

Soit \(\text A\) un point du plan et \(\overrightarrow{u}\) un vecteur non nul. On considère la droite qui est l'ensemble des points \(\text M\) du plan tels que les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AM}}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont colinéaires.
On dit que le vecteur \(\overrightarrow{u}\) est un vecteur directeur de cette droite.

Propriété

Soit \(\text A\) et \(\text B\) deux points distincts. Le vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\) est un vecteur directeur de la droite \((\text{AB})\).
Tout vecteur non nul colinéaire à \(\overrightarrow{\text{AB}}\) est un vecteur directeur de la droite \((\text{AB})\).

Exemples

• Les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\), \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont des vecteurs directeurs de la droite \((\text{AB})\) illustrée ci-dessous.
  

• Soit \(\text A(1;2)\) et \(\text B(4;3)\) deux points du plan.
  Alors un vecteur directeur de la droite \((\text{AB})\) est le vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ \end{pmatrix}\). 
  Les vecteurs \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 15 \\ 5 \\ \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ \end{pmatrix}\) sont également des vecteurs directeurs de la droite \((\text{AB})\).
  

Propriété

Soit \(d\) une droite et \(\overrightarrow{u}\) un vecteur directeur de cette droite.
Les vecteurs directeurs de la droite \(d\) sont tous les vecteurs non nuls colinéaires au vecteur \(\overrightarrow{u}\).

Remarque

Une droite possède donc une infinité de vecteurs directeurs. Ces vecteurs directeurs sont tous les vecteurs du plan qui ont même direction que celle de la droite.